Lügner-Paradoxon

Grenzen unserer Erkenntnis

Der berühmte Logiker Kurt Gödel veröffentlichte vor 90 Jahren seinen Unvollständigkeitssatz, ein mathematisches Resultat über prinzipielle Grenzen der Formalisierbarkeit und Beweisbarkeit in logischen Theorien.

Logiker Kurt Gödel veröffentlichte vor 90 Jahren seinen Unvollständigkeitssatz
Es deutet vieles darauf hin, dass wir Menschen grundsätzlich die Entstehung oder Funktionsweise unseres Bewusstseins nicht verstehen können.

Der hl. Paulus schreibt im Brief an Titus über die Kreter: „Einer von ihnen hat als ihr eigener Prophet gesagt: Kreter sind immer Lügner“ (Tit 1,12). Er zitiert hier den griechischen Philosophen Epimenides, selbst ein Kreter. Wir haben es hier mit einer Variante des Lügner-Paradoxons zu tun, das vielleicht in folgender Form eindeutiger wird: „Was ich jetzt sage, ist falsch“. Noch kürzer: „Dieser Satz ist falsch“. Wie man es auch dreht und wendet, über die Wahrheit des Satzes lässt sich keine Aussage treffen: Nehmen wir an, er ist wahr, dann sagt er ja gerade aus, dass er falsch ist; nehmen wir umgekehrt an, dass er falsch ist, gilt sein Gegenteil, also ist er wahr.

Das Lügner-Paradoxon

Die Leistung Kurt Gödels bestand darin, das Lügner-Paradoxon in die Sprache der formalen Logik zu übersetzen. Er konstruierte eine logische Formel G, die behauptet, dass sie selbst nicht beweisbar ist (genauer: G ist logisch äquivalent zu der Aussage, dass G nicht beweisbar ist). Die Frage, ob G wahr ist, führt zu einem analogen Widerspruch wie bei Epimenides: Ist nämlich G beweisbar, ist sie nicht wahr und demnach nicht beweisbar (zumindest in einem korrekten Beweissystem); in diesem Fall ist G aber wahr und, falls in dem zugrundeliegenden Beweissystem alle wahren Aussagen bewiesen werden können, beweisbar.

Aus diesem Widerspruch schloss Gödel, dass das Beweissystem der Mathematik entweder inkonsistent oder unvollständig sein müsse. Diese Aussage gilt nicht nur für das damals übliche System der „Principia Mathematica“ von Russel und Whitehead oder für das heute meist verwendete System von Zermelo-Fraenkel, sondern für praktisch jedes Beweissystem. Dabei ist es auch irrelevant, ob das Beweissystem in Form von logischen Axiomen und Schlussregeln gegeben ist oder durch einen Algorithmus oder ein Computerprogramm, mit dessen Hilfe Schlussfolgerungen gezogen werden. Als Hilfsmittel für den Beweis des Unvollständigkeitssatzes hatte Gödel zum ersten Mal den Begriff der effektiven Berechenbarkeit und des Algorithmus, wenn auch in eingeschränkter Form, verwendet.

Mathematisches Modell

Der britische Mathematiker Alan Turing führte diese Überlegungen weiter und erdachte ein einfaches mathematisches Modell einer Rechenmaschine, die (heute so genannte) Turing-Maschine. Alle bekannten algorithmischen Systeme und Computer, vom Mobiltelefon bis zum Quantenrechner, können grundsätzlich von einer Turing-Maschine simuliert werden — sie stellt ein universelles Maschinenmodell dar. Der Satz von Gödel bedeutet nun auch, dass jede Turing-Maschine, die nur wahre logische Formeln produziert, unvollständig sein muss in dem Sinne, dass sie nicht alle wahren Formeln ausgeben kann, eben gerade nicht die Gödel-Formel.

Von Maschinen nicht nachvollziehbar

Es ergeben sich prinzipielle Grenzen der Fähigkeit jeglicher formaler logischer oder maschinell-algorithmischer Systeme. In jedem System gibt es Formeln, über deren Wahrheit das System keine Aussage machen kann. Insbesondere kann innerhalb eines Systems nicht sinnvoll über Wahrheit im System selbst gesprochen werden, und seine Konsistenz kann nicht innerhalb des Systems nachgewiesen werden. Ist die Mathematik konsistent, ist die Gödel-Formel nicht beweisbar; sie muss demnach wahr sein. Wir Menschen blicken von außerhalb auf das System und sehen, dass G wahr, aber nicht in der Principia Mathematica (PM) beweisbar ist.

Überraschenderweise konnte die Konsistenz von PM oder des Zermelo Fraenkel-Systems bis heute nicht nachgewiesen werden. Die Mathematiker arbeiten mit einem Beweissystem, dessen Grundlagen formal nicht geklärt sind; da sich in vielen Jahrhunderten mathematischer Entwicklungen kein Widerspruch herausgestellt hat, ist mit großer Wahrscheinlichkeit allerdings von der Konsistenz auszugehen, und unter dieser Arbeitshypothese wird heute Mathematik betrieben. Wenn nun PM tatsächlich konsistent ist, wie alle Mathematiker glauben, dann kennen wir als Menschen den Status von G, aber Gödel zeigt ja gerade, dass er in PM offen ist. Maschinen können sozusagen keinen Gewinn aus der Konsistenz von PM ziehen. Wir kommen zu der bemerkenswerten Schlussfolgerung, dass, wenn die Mathematik konsistent ist, wir Menschen Schlussfolgerungen ziehen können, die von Rechenmaschinen jeglicher Art, ob Computer oder neuronales Netz, nicht nachvollziehbar sind.

Die mechanistische These

Im Jahre 1951 lud die amerikanische Mathematikervereinigung Kurt Gödel ein, die jährliche Gibbs Lecture zu halten — eine Art Mathematik-Oscar, der für herausragende Leistungen in den Anwendungen der Mathematik vergeben wird. Er nutzte sie, um philosophische Überlegungen und Konsequenzen aus dem Unvollständigkeitssatz zu präsentieren. Im ersten Teil der Vorlesung setzte er sich mit der sog. „mechanistischen These“ auseinander, der Annahme, dass der menschliche Verstand ein Computer oder eine Turing-Maschine oder ein anders geartetes formal-algorithmisches System ist oder dadurch simuliert werden kann. Gödel befasst sich zunächst mit dem Phänomen der „Incompletability“ der Mathematik, also der (wörtlich) „Unvervollständigbarkeit“, der Unmöglichkeit der Vervollständigung der Mathematik.

Für jedes konsistente System wie PM gibt es den Gödel-Satz G, der nicht abgeleitet werden kann. Nehmen wir ihn zum System hinzu, kommen wir zu einem mächtigeren System, für das es aber erneut einen Gödel-Satz gibt, usw. Für jedes noch so mächtige konsistente System kann seine Konsistenz nicht mit Mitteln des Systems bewiesen werden, also kann es nicht alle Sätze der Mathematik ableiten. Unter „objektiver Mathematik“ versteht Gödel die Menge der logischen Formeln, die wahre Aussagen der Arithmetik, also über die natürlichen Zahlen wie wir sie kennen, formulieren. In der Logik spricht man von der „Theorie der Arithmetik“. Die Teilmenge der Formeln, deren Wahrheit wir Menschen mit unangreifbarer mathematischer Sicherheit wissen können, etwa weil wir einen Beweis in einem der logischen Systeme gefunden haben, bezeichnet Gödel mit „subjektiver Mathematik“.

Subjektive Mathematik

Aus dem Unvollständigkeitssatz folgt, dass keine Turing-Maschine oder kein Computerprogramm alle Formeln (und nur Formeln) der Theorie der Arithmetik ausgeben kann, und in keinem logischen System genau die Sätze der Arithmetik bewiesen werden können. Für die subjektive Mathematik ist dies jedoch nicht auszuschließen. Wie Gödel bemerkt, ist es durchaus logisch vorstellbar, dass der menschliche Verstand äquivalent zu einer Turing-Maschine ist, aber nur zu einer, die ihre eigene Struktur und Funktionsweise nicht vollständig versteht. Sie kann möglicherweise physikalisch ihre Funktionsweise einsehen, aber nicht, warum sie nur korrekte oder konsistente Resultate liefert. Gödel bemerkt, diese Unfähigkeit könnte dem Menschen fälschlicherweise wie seine eigene Grenzenlosigkeit oder Unbeschränktheit erscheinen.

Gödels rationalistischer Optimismus

Nehmen wir nun an, dass objektive und subjektive Mathematik zusammenfallen. Ein idealer menschlicher Mathematiker könnte also für alle Formeln der Arithmetik Beweise finden, sofern sie wahr sind; mit anderen Worten: Die mechanistische These ist falsch. Sind aber objektive und subjektive Mathematik verschieden, so gibt es Formeln der Arithmetik, die von keinem Beweis, den sich der menschliche Verstand ausdenken kann, bewiesen werden können. Gödel nennt diese absolut unlösbare Probleme. Es folgt: Die mechanistische These ist falsch oder es gibt absolut unlösbare Probleme.

Der Philosoph und Gödel-Biograph Hao Wang berichtet von einem Gespräch mit Kurt Gödel, in dem er äußerte, er könne nicht an die Existenz absolut unlösbarer Probleme über die natürlichen Zahlen, die „einfachsten“ Objekte der Mathematik, glauben. Er nannte dies einen „rationalistischen Optimismus“, weil er nach obigen Überlegungen bedeutet, dass die mechanistische These falsch ist. Wang zitiert ein Manuskript Gödels, in dem er einen Beitrag von Alan Turing kritisiert, der versucht, die Überlegenheit geistiger Verfahren gegenüber mechanischen Verfahren zu widerlegen. Gödel basiert seinen Einspruch auf die einfache Erkenntnis, dass das Gehirn keine endliche Maschine ist und mehr als endlich viele Zustände unterscheiden kann. Er soll gesagt haben, Turings Auffassung könnte richtig sein, wenn der Verstand nur auf Materie basiert. Generell hielt er eine mechanistische Auffassung der Biologie für eine Mode der Zeit, die widerlegt werden würde. Gödel lehnte die mechanistische These ab und war überzeugt, dass Menschen keine Turing-Maschinen sind, dass der menschliche Geist die Möglichkeiten jeder Maschine unendlich übertrifft.

Außerhalb des formalen Systems

Als Menschen stehen wir außerhalb jedes formalen System. Wir erkennen sozusagen „von oben“ die Gültigkeit des Gödel-Satzes G, der im System nicht bewiesen oder gefolgert werden kann. Der Philosoph Storrs McCall hat das so formuliert: „Kein intelligentes Programm, das auf einer Turing-Maschine ausgeführt werden kann, kann alle menschlichen Schlussfolgerungen nachbilden.“ Um das menschliche Bewusstsein zu erklären, benötigen wir eine nicht-berechenbare Komponente (z. B. aus der Quantenmechanik) oder eine transzendente Ursache. Aber der Satz von Gödel könnte auch bedeuten, dass wir grundsätzlich nicht erkennen können, wie unser Bewusstsein funktioniert oder entsteht.

Der Autor ist Professor für Theoretische Informatik und geschäftsführender Leiter des gleichnamigen Instituts an der Leibniz Universität Hannover.

 

Kurz gefasst

Der Logiker Kurt Gödel zeigte 1931 in seinem bekannten „Unvollständigkeitssatz“, dass es in jedem formal-logischen System eine Formel gibt, über deren Gültigkeit das System keine Aussage machen kann. Als Menschen außerhalb des Systems erkennen wir aber, dass die Formel gültig ist, kommen also zu einer Schlussfolgerung, die von keiner Maschine und keinem formalen System nachvollziehbar ist. Gödel sah dies als Evidenz dafür, dass die mechanistische These, dass nämlich der menschliche Verstand durch einen Computer simulierbar sei, falsch ist. Andererseits deutet es darauf hin, dass wir grundsätzlich die Entstehung oder Funktionsweise unseres Bewusstseins nicht verstehen können.

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